Ecuaciones trigonometricas

 √3 tan x + 1 = 0:

Para resolver la ecuación

$\sqrt{3}\tan (𝑥)+1=0$, primero despejamos $\tan (𝑥)$:

$$\sqrt{3}\tan (𝑥)+1=0$$

Restamos 1 de ambos lados:

$$\sqrt{3}\tan (𝑥)=-1$$

Dividimos ambos lados entre $\sqrt{3}$:

$$\tan (𝑥)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Sabemos que:

$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Entonces:

$$\tan (𝑥)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

La tangente es $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ en los ángulos donde $𝑥=150^{\circ }$ y $𝑥=330^{\circ }$ (o en radianes $𝑥=\frac{5𝜋}{6}$ y $𝑥=\frac{11𝜋}{6}$), más cualquier múltiplo de $𝜋$:

$$𝑥=150^{\circ }+180^{\circ }𝑘\text{(en grados)}$$

$$𝑥=330^{\circ }+180^{\circ }𝑘\text{(en grados)}$$

o

$$𝑥=\frac{5𝜋}{6}+𝜋𝑘\text{(en radianes)}$$

$$𝑥=\frac{11𝜋}{6}+𝜋𝑘\text{(en radianes)}$$

donde $𝑘$ es cualquier número entero.

Así, las soluciones generales de la ecuación $\sqrt{3}\tan (𝑥)+1=0$ son:

$$𝑥=\frac{5𝜋}{6}+𝜋𝑘\text{(en radianes)}$$

$$𝑥=\frac{11𝜋}{6}+𝜋𝑘\text{(en radianes)}$$

donde $𝑘\in \mathbb{𝑍}$ (los números enteros).

4 cos2 x − 1 = 0:

1. Aislamos el término con ${\cos }^2(𝑥)$:

$$4{\cos }^2(𝑥)-1=0$$

Añadimos 1 a ambos lados:

$$4{\cos }^2(𝑥)=1$$

Dividimos entre 4:

$${\cos }^2(𝑥)=\frac{1}{4}$$

2. Resolvemos para $\cos (𝑥)$:

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$$\cos (𝑥)=\pm \frac{1}{2}$$

3. Encontramos los ángulos correspondientes:

Para $\cos (𝑥)=\frac{1}{2}$:

Los ángulos en los que $\cos (𝑥)=\frac{1}{2}$ son:

$$𝑥=\frac{𝜋}{3}+2𝑘𝜋\text{y}𝑥=\frac{5𝜋}{3}+2𝑘𝜋$$

Para $\cos (𝑥)=-\frac{1}{2}$:

Los ángulos en los que $\cos (𝑥)=-\frac{1}{2}$ son:

$$𝑥=\frac{2𝜋}{3}+2𝑘𝜋\text{y}𝑥=\frac{4𝜋}{3}+2𝑘𝜋$$

donde $𝑘\in \mathbb{𝑍}$ (números enteros).

4. Soluciones generales:

Las soluciones generales de la ecuación $4{\cos }^2(𝑥)-1=0$ son:

$$𝑥=\frac{𝜋}{3}+2𝑘𝜋(60^{\circ }+360^{\circ }𝑘)$$

$$𝑥=\frac{5𝜋}{3}+2𝑘𝜋(300^{\circ }+360^{\circ }𝑘)$$

$$𝑥=\frac{2𝜋}{3}+2𝑘𝜋(120^{\circ }+360^{\circ }𝑘)$$

$$𝑥=\frac{4𝜋}{3}+2𝑘𝜋(240^{\circ }+360^{\circ }𝑘)$$

donde $𝑘$ es cualquier número entero.

2 cos2 x − 1 = 0:

1. Aislamos el término con ${\cos }^2(𝑥)$:

$$2{\cos }^2(𝑥)-1=0$$

Añadimos 1 a ambos lados:

$$2{\cos }^2(𝑥)=1$$

Dividimos entre 2:

$${\cos }^2(𝑥)=\frac{1}{2}$$

2. Resolvemos para $\cos (𝑥)$:

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$$\cos (𝑥)=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Simplificamos $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\cos (𝑥)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

3. Encontramos los ángulos correspondientes:

Para $\cos (𝑥)=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Los ángulos en los que $\cos (𝑥)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ son:

$$𝑥=\frac{𝜋}{4}+2𝑘𝜋\text{y}𝑥=-\frac{𝜋}{4}+2𝑘𝜋(\text{equivalente a }𝑥=\frac{7𝜋}{4}+2𝑘𝜋)$$

Para $\cos (𝑥)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Los ángulos en los que $\cos (𝑥)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ son:

$$𝑥=\frac{3𝜋}{4}+2𝑘𝜋\text{y}𝑥=\frac{5𝜋}{4}+2𝑘𝜋$$

donde $𝑘\in \mathbb{𝑍}$ (números enteros).

4. Soluciones generales:

Las soluciones generales de la ecuación $2{\cos }^2(𝑥)-1=0$ son:

$$𝑥=\frac{𝜋}{4}+2𝑘𝜋(45^{\circ }+360^{\circ }𝑘)$$

$$𝑥=\frac{7𝜋}{4}+2𝑘𝜋(315^{\circ }+360^{\circ }𝑘)$$

$$𝑥=\frac{3𝜋}{4}+2𝑘𝜋(135^{\circ }+360^{\circ }𝑘)$$

$$𝑥=\frac{5𝜋}{4}+2𝑘𝜋(225^{\circ }+360^{\circ }𝑘)$$