circulo unitario y teorema de pitagoras

 (−√53, −23)2x2+

Dado el punto $(-\sqrt{5}\mathrm{/}3,-2\mathrm{/}3)$, asignamos: $𝑥=-\sqrt{5}\mathrm{/}3$ $𝑦=-2\mathrm{/}3$

Ahora, verificamos si el punto satisface la ecuación del círculo unitario:

${(-\frac{\sqrt{5}}{3})}^2+{(-\frac{2}{3})}^2=1$

Calculamos cada término por separado:

${(-\frac{\sqrt{5}}{3})}^2={\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2=\frac{5}{9}$

${(-\frac{2}{3})}^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$

Sumamos los resultados:

$\frac{5}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5+4}{9}=\frac{9}{9}=1$

Dado que la suma es igual a 1, podemos confirmar que el punto $(-\sqrt{5}\mathrm{/}3,-2\mathrm{/}3)$ pertenece al círculo unitario.

Ahora, para completar el triángulo rectángulo con los puntos dados, consideramos un triángulo rectángulo donde el punto $(-\sqrt{5}\mathrm{/}3,-2\mathrm{/}3)$ está en la hipotenusa y el origen $(0,0)$ es uno de los vértices. Los otros dos vértices estarán en las coordenadas $(𝑥,0)$ y $(0,𝑦)$, que son proyecciones ortogonales de $(-\sqrt{5}\mathrm{/}3,-2\mathrm{/}3)$ en los ejes $𝑥$ e $𝑦$.

Las coordenadas son:

1. En el eje $𝑥$: $(-\sqrt{5}\mathrm{/}3,0)$
2. En el eje $𝑦$: $(0,-2\mathrm{/}3)$

P (−35, ), Cuadrante III: 

Dado que la coordenada $𝑥$ del punto $𝑃$ es $-3\mathrm{/}5$, que es negativa, la coordenada $𝑦$ también debe ser negativa.

Sea $𝑃=(-3\mathrm{/}5,𝑦)$, donde $𝑦$ es negativa.

Para que el punto $𝑃$ esté en el círculo unitario, debe cumplir con la ecuación del círculo unitario:

${𝑥}^2+{𝑦}^2=1$

Sustituimos $𝑥=-3\mathrm{/}5$ en la ecuación:

${(-\frac{3}{5})}^2+{𝑦}^2=1$

Calculamos ${(-\frac{3}{5})}^2$:

${(-\frac{3}{5})}^2=\frac{9}{25}$

Entonces, la ecuación queda:

$\frac{9}{25}+{𝑦}^2=1$

Restamos $\frac{9}{25}$ de ambos lados para resolver ${𝑦}^2$:

${𝑦}^2=1-\frac{9}{25}$

Convertimos 1 a fracción con denominador 25:

${𝑦}^2=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

Ahora, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$𝑦=\pm \sqrt{\frac{16}{25}}$ $𝑦=\pm \frac{4}{5}$

Dado que estamos en el tercer cuadrante, donde $𝑦$ debe ser negativa, seleccionamos la solución negativa:

$𝑦=-\frac{4}{5}$

Por lo tanto, el punto $𝑃$ en el tercer cuadrante y en el círculo unitario es:

$𝑃=(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$

9. P ( , −13), CuadranteII: 

Dado que la coordenada $𝑦$ del punto $𝑃$ es $-1\mathrm{/}3$, necesitamos encontrar una coordenada $𝑥$ negativa que haga que el punto $𝑃$ esté en el círculo unitario. La ecuación del círculo unitario es:

${𝑥}^2+{𝑦}^2=1$

Dado que $𝑦=-1\mathrm{/}3$, sustituimos esto en la ecuación:

${𝑥}^2+{(-\frac{1}{3})}^2=1$

Calculamos ${(-\frac{1}{3})}^2$:

${(-\frac{1}{3})}^2=\frac{1}{9}$

Entonces, la ecuación queda:

${𝑥}^2+\frac{1}{9}=1$

Restamos $\frac{1}{9}$ de ambos lados para resolver ${𝑥}^2$:

${𝑥}^2=1-\frac{1}{9}$

Convertimos 1 a fracción con denominador 9:

${𝑥}^2=\frac{9}{9}-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

Ahora, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$𝑥=\pm \sqrt{\frac{8}{9}}$ $𝑥=\pm \frac{\sqrt{8}}{3}$

Simplificamos $\sqrt{8}$:

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Entonces:

$𝑥=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Dado que estamos en el segundo cuadrante, donde $𝑥$ debe ser negativo, seleccionamos la solución negativa:

$𝑥=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Por lo tanto, el punto $𝑃$ en el segundo cuadrante y en el círculo unitario es:

$𝑃=(-\frac{2\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3})$